Изопериметрическая задача

Увлекательный класс задач на условный экстремум образуют так именуемые изопериметрические задачки. Традиционной задачей такового вида (давшей заглавие всему классу задач) является задачка Дидоны: отыскать замкнутую кривую, ограничивающую самую большую площадь при данном периметре. При всем этом и минимизируемый функционал (площадь) и ограничение (периметр) задаются определенными интегралами.

Разглядим задачку в общей постановке Изопериметрическая задача. Пусть на кривых с фиксированными концами , функционал

добивается собственного малого (наибольшего) значения, при этом интегралы

владеют заблаговременно данными значениями . Функции и числятся два раза безпрерывно дифференцируемыми.

На 1-ый взор кажется, что интегральные ограничения значительно усложняют задачку, и к изопериметрической задачке неприменимы способы предшествующего раздела. Но оказалось, что изопериметрическую задачку смышленым приемом Изопериметрическая задача можно свести к задачке на условный экстремум с многофункциональными критериями связи.

Обозначим

.

Тогда

– новые условия связи, уже дифференциально-функционального вида, а изопериметрические условия преобразуются в граничные условия:

.

Таким макаром, задачка свелась к задачке на условный экстремум, для которой выше был приведен метод решения. Следуя ему, составляем вспомогательную функцию

,

для которой Изопериметрическая задача система уравнений Эйлера имеет вид:

.

Но потому что , то , а тогда

.

Как следует, для изопериметрической задачки в качестве функции Лагранжа можно взять функцию

с неизменными множителями . Дальше для функции , как и ранее, выписывается и решается система уравнений Эйлера, а для определения случайных неизменных и характеристик употребляются граничные и изопериметрические условия. То Изопериметрическая задача событие, что множители оказываются неизменными, непременно, упрощает решение задачки.

Пример 9.Отыскать экстремум функционала

на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям , и дополнительному условию .

Решение. Намеченная цель, разумеется, относится к классу изопериметрических задач, потому, согласно приведенной выше схеме, запишем вспомогательную функцию , для которой составим уравнение Эйлера: . Потому что символ неизвестен, решение уравнения Изопериметрическая задача Эйлера следует провести для каждого из 3-х случаев: , и .

  1. Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

.

Подставляя граничные условия, находим , другими словами . Но это решение не удовлетворяет условию , как следует, при решений у задачки нет.

  1. Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

,

из граничных критерий опять получаем , а , другими словами при задачка также Изопериметрическая задача не имеет решений.

  1. Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

,

подставляя граничные условия, находим , – хоть какое число, . Как следует, , где . Определим через изопериметрическое условие:

.

Получаем , другими словами . Потому что , то можно бросить перед функцией один символ. Совсем получаем, что данная вариационная задачка имеет нескончаемое огромное количество решений Изопериметрическая задача вида:

.


izobrazitelnoe-iskusstvo-programma-nachalnogo-obshego-obrazovaniya-municipalnogo-byudzhetnogo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya.html
izobrazitelnoe-iskusstvo-skulptura.html
izobrazitelnoe-iskusstvo-vavilona-doklad.html